【衝撃】満室なのに泊まれる？ヒルベルトの無限ホテルの謎

1. 「無限ホテル」ってどんなところ？

まずはホテルの基本ルールを整理しましょう。

• 部屋の数は無限個：1号室、2号室、3号室……と、上に向かってどこまでも部屋が続いています 。
• すでに「満室」：すべての部屋にすでにお客さんが泊まっています 。

普通のホテルなら、この時点で新規お断り。
ですが、このホテルの受付スタッフは超優秀！

さあ、奇妙な無限噺の開幕です！

2. 【レベル1】新しいお客様が「1人」やってきた！

最初の夜、満室のホテルに1人の旅人がやってきました。

「すいません、一晩だけでも泊めてもらえませんか？」

普通の受付スタッフなら「満室なので……」と断るところですが、ここの受付スタッフは館内放送を流します。

「お泊まり中のお客様にアナウンスいたします。大変恐れ入りますが、全員『いまの部屋番号 ＋ 1』の部屋へお引っ越しをお願いします！」

これによって何が起きるかというと……

• 1号室の人は2号室へ
• 2号室の人は3号室へ
• 3号室の人は4号室へ
  ・・・・・・・・
• n号室の人は（n+1）号室へ……

全員が隣の部屋に一斉にスライドします。

普通のホテルなら「一番最後の部屋の人が追い出されちゃう！」となりますが、ここは無限ホテル。

最後の部屋なんて存在しません！ だから全員が問題なく引っ越しでき、なぜか「1号室」がぽっかりと空室になります。

そこに新しい旅人を案内すれば、見事に宿泊成功！全員がハッピーです。

（※ちなみに、2人来たら「＋2」、100人来たら「＋100」の部屋に移動してもらえば解決します。）

3. 【レベル2】無限にお客様が乗った「バスが1台」やってきた！

次の夜、またもや満室。

そこへ、とんでもない団体客が現れました。なんと、「無限人のお客様が乗った不思議なバス」です！

「さすがにこれは無理でしょ！？」とパニックになりそうですが、優秀な受付スタッフはまたもやマイクを握ります。

「お泊まり中のお客様にアナウンスいたします。全員、自分の『部屋番号の2倍』の部屋へ大至急お引っ越しをお願いします！」

すると、こうなります。

• 1号室の人は2号室へ
• 2号室の人は4号室へ
• 3号室の人は6号室へ
  ・・・・・・・・
• n号室の人は2n号室へ……

全員が「偶数」の部屋に移動しました！

ということは、1, 3, 5, 7……という「奇数の部屋」が丸ごと空室になります。

奇数も無限にあるので、バスから降りてきた無限人のお客様を、1番さんは1号室、2番さんは3号室、3番さんは5号室……と順番に案内すれば、全員ぴったり泊めることができるのです！

既存客を全員偶数部屋に移動させることで、無限の空き部屋を作り出す。スマートすぎるおもてなしです！

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4. 【レベル3】無限の客を乗せた「無限台のバス」がやってきた！？

3日目の夜。これまた満室のホテルに、究極の試練が訪れます。

「無限人のお客様を乗せたバス」が、なんと「無限台」やってきたのです！

「1号車の無限人」「2号車の無限人」「3号車の無限人」……。もう、ロビーはお客さんで埋め尽くされて大パニックです。

これには流石に受付スタッフもお手上げか！？

しかし、受付スタッフはニヤリと笑い、数学の秘密兵器「素数（そすう）」を使いました。

スタッフはこう指示します。

1. いま泊まっているお客様は全員「5^（いまの部屋番号）」の部屋に移動してください！

• （1号室の人は(5^1=)5号室、2号室の人は(5^2=)25号室、3号室の人は(5^3=)125号室へ……）

2. バスのお客様は、以下のルールで部屋に入ってください！

• 「A号車のB番さん」は、「（2^A ✖️ 3^B）号室」へどうぞ！

これ、何がすごいか分かりますか？

数学には「素因数分解の一意性（すべての数は、素数の掛け算で1通りにしか表せない）」という強力なルールがあります。

• いまの宿泊客が移動した部屋（5の掛け算だけ）
• 新しく来たお客様が入る部屋（2と3の掛け算だけ）

これらは絶対に数字が被りません！

また、1号車の1番さん（2^1 ✖️ 3^1 = 6号室）と、2号車の1番さん（2^2 ✖️ 3^1 = 12号室）のように、バス同士のお客様でも絶対に部屋が重複することはありません。

この「素数パワー」によって、無限×無限の想像を絶する団体様も、全員別々の部屋にスマートに案内できてしまうのです！

（※ちなみに、既存客を2^nに、バスのお客様を他の素数 3^n, 5^n, 7^n,・・・・ のべき乗に割り振る方法もあります。）